Свою кар'єру Андрій розпочав восени 2007-го року у юнацькій команді запорізького «Металурга» на позиції нападника. Згодом був переведений у півзахист. За неповні 4 роки виступів у ДЮФЛ Блізніченко провів 69 матчів, в яких забив 80 м'ячів.
У 2011 році розбіжності щодо нового контракту з керівництвом «Металургу» спричинили конфлікт, через який Блізніченко більш як на рік залишився поза клубним футболом. В цей же час футболіст серйозно травмувався в матчі за юнацьку збірну України.
Улітку 2012-го підписав контракт із «Дніпром», який допоміг Андрієві з операцією у Німеччині.
У дебютному сезоні за новий клуб провів 14 матчів за дублюючий склад, у яких візначився 5-ма забитими м'ячами.
28 листопада 2013 року дебютував в основному складі «Дніпра» у матчі Ліги Європи проти румунського «Пандурія» (4:1 перемога «дніпрян»).
Під час зимової перерви сезону 2013/2014 перебував на оглядинах у львівських «Карпатах». Але клуби не змогли домовитись щодо умов виступів гравця і Блізніченко повернувся до Дніпропетровська.
5 квітня 2014 провів перший матч в Прем'єр-лізі: «Дніпро» на виїзді переміг сімферопольську «Таврію» з рахунком 2:0.
За юнацьку збірну України (U-17) дебютував 18 серпня 2009 року у матчі проти збірної Литви, в якому українці поступились 1:4. А вже за 4 дні вперше відзначився у складі збірної, забивши гол у ворота юнацької збірної Білорусі.
З 2009 по 2013 рік у складі юнацьких збірних усіх вікових категорій провів 54 матчі і забив 10 голів.